转置矩阵

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在线性代数中，矩阵 A 的转置是另一个矩阵 A^T (也写做 A^tr, ^tA 或 A′) 由下列等价动作建立:

形式上说，m × n 矩阵 A 的转置是 n × m 矩阵

$A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji}$ for $1 \le i \le n,$ $1 \le j \le m.$

注意 $\mathbf{A}^{T}$ （轉置矩陣）與 $\mathbf{A}^{-1}$ （可逆矩陣）不同。

[编辑] 例子

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;$

对于矩阵 A, B 和标量 c 转置有下列性质:

$\left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad \,$

转置是自身逆运算。
$(A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T} \,$

转置是从 m × n 矩阵的向量空间到所有 n × m 矩阵的向量空间的线性映射。
$\left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} \,$

注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵 A 是可逆矩阵，当且仅当 A^T 是可逆矩阵，在这种情况下有 (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T。
$(c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T} \,$

标量的转置是同样的标量。
$\det(A^\mathrm{T}) = \det(A) \,$

矩阵的转置矩阵的行列式同于这个矩阵的行列式。
两个纵列向量 a 和 b 的点积可计算为

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},$
如果 A 只有实数元素，则 A^TA 是正半定矩阵。
如果 A 是在某个域上，则 A 相似于 A^T。

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵；就是说 A 是对称的，如果

$A^{\mathrm{T}} = A.\,$

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵；就是说 G 是正交的，如果

$G G^\mathrm{T} = G^\mathrm{T} G = I_n , \,$ I是单位矩阵。

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是 A 是斜对称的，如果

$A^{\mathrm{T}} = -A.\,$

复数矩阵 A 的共轭转置，写为 A^*，是 A 的转置加上取每个元素的共轭复数:

$A^* = (\overline{A})^{\mathrm{T}} = \overline{(A^{\mathrm{T}})}$

如果 f: V→W 是在向量空间 V 和 W 之间非退化双线性形式的线性映射，我们定义 f 的转置为线性映射 ^tf : W→V，确定自

$B_V(v,{}^tf(w))=B_W(f(v),w) \quad \forall\ v \in V, w \in W.$

这里的，B_V 和 B_W 分别是在 V 和 W 上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵，只要基是关于它们的双线性形式是正交的。

在复向量空间上，经常用到半双线性形式来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义，转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出，如果基是正交的。在这种情况下，转置也叫做Hermitian伴随。

如果 V 和 W 没有双线性形式，则线性映射 f: V→W 的转置只能定义为在对偶空间 W 和 V 之间的线性映射 ^tf : W^*→V^*。

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